极限运算法则和无穷小代换的问题limx->0 (sinx^2/x^2)/[(1-cosx)/(x^2)+(sin/x)]

极限运算法则和无穷小代换的问题
limx->0 (sinx^2/x^2)/[(1-cosx)/(x^2)+(sin/x)]=1/0.5+1=4/3
分子和分母分别用等价无穷小带入sin~x,1-cosx~x^2/2
分析：不过这明显违背了加减的时候不能用无穷小代换的原则
唯一可以解释的就是用到了极限4则运算,把上式看成是3个独利的
极限再分别带入无穷小化简
结果应该是2/3
笔误
86905348 1年前 已收到3个回答 举报
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niuniu52960 幼苗

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我想了一下,他这样做的原因可能是他已经明确分子分母的极限都存在且不为0与无穷.
那么按照极限的运算法则可以分子分母各自极限后相除
分子的情况就确定了.
对于分母求极限时,也比较明显知道两项的极限存在且不为0与无穷
那么同理,运用极限的四则运算,也变成各自极限的和.
我这样写,想必你能明白吧?
不过这只是对于极限能确定的情况才适用.若一个极限分子分母的极限情况不知,那么就不能这样做了,只能用其他方法做
所以这道题没有违背加减的时候不能用无穷小代换的原则

1年前

10

hnylshw 幼苗

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加减项中如果每一项都是无穷小，各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0，则是可以替换的。用泰勒公式求极限就是基于这种思想。
举一个例子让你明白：
求当x→0时，(tanx-sinx)/(x^3)的极限。
用洛必塔法则容易求得这个极限为1/2。
我们知道，当x→0时，tanx～x，sinx～x，若用它们代换，结果等于0，显然错了，这是因为x-x=0的缘故；

1年前

2

pupu336 幼苗

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正确的。
①极限存在是用其他方法证明得到的，如limsinx/x=1,最初的证明是用面积公式；lim（1+1/n）^n=e用的是夹逼原理。
②极限运算成立的证明时用到了：每一个因式的极限都要存在.
所以这是极限运算成立的充分条件。
这道题每个因式的极限都存在（用①中的证明）。
以上两步足以说明做法的正确
③而等价无穷小只是定义，为了更简洁的说明,...

1年前

0
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