（2014•成都一模）已知函数f（x）=alnx，g（x）=-[1/2]x2+2x-[3/2]，a∈R．

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-lnx，f′(x)＝−
1
x，f′(3)＝−
1
3，
∴曲线y=f（x）在x=3处的切线方程为：y+ln3=-[1/3]（x-3），即y=-[1/3]x+1-ln3；
（Ⅱ）f（x）≥g（x）恒成立，即alnx≥−
1
2x2+2x−
3
2恒成立，
也就是alnx+
1
2x2−2x+
3
2≥0恒成立．
令h(x)＝alnx+
1
2x2−2x+
3
2，x≥1，则h′(x)＝
x2−2x+a
x，x≥1．
①若a≥1，则h′（x）≥0恒成立，∴h（x）在[1，+∞）上为单调递增函数，
h（x）≥h（1）恒成立，又h（1）=0，∴a≥1符合条件；
②若a＜1，由h′（x）=0可得x＝1+
1−a和x＝1−
1−a（舍去）．
当x∈(1，1+
1−a)时，h′（x）0．
∴h(x)极小值＝h(1+
1−a)．
∴h(1+

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了导数在最大值和最小值中的应用，训练了函数构造法，考查了类加法求数列的和，训练了利用放缩法证明不等式，是有一定难度题目．