1,已知在实属范围内:x+y=u+v,x2+y2=u2+v2,求证x的n次方+y的n次方=u的n次方+v的n次方

(1) x²+y²=u²+v²,x+y=u+v
∴(x+y)²=(u+v)²,即得xy=uv
用归纳法证明结论,n=1,2时显然成立
假设n-2,n-1时成立结论,n>2.即有
x^(n-2)+y^(n-2)=u^(n-2)+v^(n-2)
x^(n-1)+y^(n-1)=u^(n-1)+v^(n-1)
则x^n+y^n=(x+y)(x^(n-1)+y^(n-1))-xy(x^(n-2)+y^(n-2))
=(u+v)(u^(n-1)+v^(n-1))-uv(u^(n-2)+v^(n-2))
=u^n+v^n 所以结论成立.
(2) 注意f(x+6)=1/(1-f(x+4))=1/[1-1/(1-f(x+2))]
=[f(x+2)-1]/f(x+2)=[1/(1-f(x))-1][1-f(x)]
=1-(1-f(x))=f(x),即f(x)是以6为周期的周期函数
∴f(7^n+4)=f((6+1)^n+4)=f(5)=f(-1)
=1-1/f(1)=1-(√5+1)/4=(3-√5)/4