一个高数题设函数f(x)在负无穷到正无穷内有定义,且对任意实数x和y有f(x+y)=f(x)f(y).已知f(0)的导数

一个高数题
设函数f(x)在负无穷到正无穷内有定义,且对任意实数x和y有f(x+y)=f(x)f(y).已知f(0)的导数为1,试证f(x)在负无穷到正无穷内可导且f(x)等于f(x)的导数.

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f(x+y)=f(x)f(y),f(0)=f(0)f(0)
如果f(0)=0,那么f(x+0)=f(x)f(0)=0,f(x)恒为0,导数也为0.与已知f(0)的导数为1矛盾.所以f(0)=1.
当h趋于0时,
lim(f(x+h)-f(x))/h
=lim(f(x)f(h)-f(x))/h
=limf(x)(f(h)-1)/h
=f(x)lim(f(h)-f(0)/h
=f(x)f'(0)
=f(x)
即：f'(x)=f(x)

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你能帮帮他们吗

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