（2007•湖北）已知定义在正实数集上的函数f（x）=[1/2]x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0．设

解题思路：（Ⅰ）设出两曲线的公共点坐标，分别求出f（x）和g（x）的导函数，把设出点的坐标代入两导函数中得到两关系式，联立两关系式即可解出公共点的横坐标，把求出的横坐标代入得到用a表示出b的式子，设h（t）等于表示出的式子，求出h（t）的导函数，令导函数大于0求出t的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出x的范围即为函数的减区间，根据函数的增减性即可求出h（t）的最大值即为b的最大值；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x），求出F（x）的导函数，根据导函数的正负得到F（x）的单调区间，由x大于0和函数的增减性得到F（x）的最小值为0，即f（x）-g（x）大于等于0，得证．

（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．
∵f'（x）=x+2a，g′(x)＝
3a2
x，由题意f（x₀）=g（x₀），f'（x₀）=g'（x₀）．
即


1
2
x20+2ax0＝3a2lnx0+b
x0+2a＝
3a2
x0由x0+2a＝
3a2
x0得：x₀=a，或x₀=-3a（舍去）．
即有b＝
1
2a2+2a2−3a2lna＝
5
2a2−3a2lna．
令h(t)＝
5
2t2−3t2lnt(t＞0)，则h'（t）=2t（1-3lnt）．
于是当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e
1
3时，h'（t）＞0；当t（1-3lnt）＜0，即t＞e
1
3时，h'（t）＜0．
故h（t）在(0，e
1
3)为增函数，在(e
1
3，+∞)为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h(e
1
3)＝
3
2e
2
3．
（Ⅱ）设F(x)＝f(x)−g(x)＝

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．