已知直线y=kx+1与曲线y=lnx有公共点，则实数k的取值范围是______．

解题思路：直线y=kx+1与曲线y=lnx有公共点，等价于方程kx+1=lnx在x＞0时，有解，即k=[lnx−1/x]有解，构造函数f（x）=[lnx−1/x]，利用导数求出函数的取值情况，即可求出k的取值范围．

∵直线y=kx+1与曲线y=lnx有公共点，
∴等价于方程kx+1=lnx在x＞0时，有解，
即k=[lnx−1/x]有解，
构造函数f（x）=[lnx−1/x]，
则f'（x）=

1
x•x−(lnx−1)
x2＝
2−lnx
x2，
由f'（x）＞0，解得0＜x＜e²，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0，解得x＞e²，此时函数单调递减，
∴当x=e²时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e²）=
lne2−1
e2＝
2−1
e2＝
1
e2，
∴f（x）≤
1
e2，
∴k≤
1
e2，
即实数k的取值范围是k≤
1
e2．
故答案为：k≤
1
e2．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．

考点点评： 本题主要考查函数零点的应用，利用条件构造函数，利用导数是解决本题的关键，综合性较强．