f(X)是定义在R上的奇函数,且f(10+x)=f(x)+f(5-x),则f(2010)=?

简洁版：
因为f(X)定义在R上,且f(10+x)=f(x)+f(5-x),
用5-x代替x得f(15-x)=f(5-x)+f(x)
所以f(10+x)=f(x)+f(5-x)=f(15-x)对于所有的x属于R都成立
再用x-10代替等式中的x 得到f(x)=f(25-x)
再用x-25代替等式中的x 可得f(x-25)=f(50-x),
所以f(x)=f(25-x)=-f(x-25)=-f(50-x)=f(x-50)
我们可得这个函数的周期是50.
所以f(2010)=f(40*50+10)=f(10).
又因为f(10+x)=f(x)+f(5-x)
令x=0,可得f(10)=f(0)+f(5)=f(5) （f(0)=0因为f(X)是定义在R上的奇函数）
令x=-5,可得f(5)=f(-5)+f(10),所以f(10)=2f(5)
所以f(2010)=f(10)=f(5)=0.
详细过程版：
因为f(X)定义在R上,且f(10+x)=f(x)+f(5-x),
令x=5-y,f(10+5-y)=f(5-y)+f(y)对于所以的y属于R都成立（）
在将y用x来代替,所以f(15-x)=f(5-x)+f(x)对于所有的x属于R都成立 （这里有点不好理解）
所以f(10+x)=f(x)+f(5-x)=f(15-x)对于所有的x属于R都成立
再在f(10+x)=f(15-x)中用x-10代替等式中的x （省略了通过y中转这一步）
所以得到f(x)=f(25-x)
在用x-25代替等式中的x
可得f(x-25)=f(50-x)
又因为f(X)是定义在R上的奇函数,所以f(x-25)=-f(25-x)和f(50-x)=-f(x-50)
所以f(25-x)=f(x-50)
所以f(x-50)=f(x).
我们可得这个函数的周期是50.
所以f(2010)=f(40*50+10)=f(10).
又因为f(10+x)=f(x)+f(5-x)
令x=0,可得f(10)=f(0)+f(5)
因为f(X)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(10)=f(5)
令x=-5,可得f(5)=f(-5)+f(10),所以f(10)=f(5)-f(-5)=f(5)+f(5)=2f(5)
所以f(5)=2f(5)
所以f(5)=0.
所以f(10)=0
所以f(2010)=0.
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I don't know.

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