设函数f(x)＝x33−x2−3x−3a，(a大于0)．（1）如果a=1，点p为曲线y=f（x）上一个动点，求以P为切点

解题思路：（1）对函数f（x）进行求导，求出导函数的最小值即为所求切线方程的斜率，再求出切点再由点斜式得到切线方程．
（2）根据导函数的正反判断函数的单调性，然后对a的不同范围求函数f（x）在x∈[a，3a]上的最小值使得大于等于0，进而可确定a的范围．

（Ⅰ）设切线斜率为k则k=f'（x）=x²-2x-3，当x=1时k最小值为-4．
f（1）=-[20/3]所以切线方程为y+[20/3]=-4（x-1）即12x+3y+8=0
（Ⅱ）由k=f'（x）=x²-2x-3＞0，k=f'（x）=x²-2x-3＜0＜0得．
函数f（x）=
x3
3−x2−3x−3a，（a＞0）在（-∞，-1），（3，+∞）为增函数，在（-1，3）减函数
（1）

0＜a＜3a≤3
f(3a)≥0，无解；
（2）

0＜a＜3＜3a
f(3)≥0无解；
（3）

a≥3
f(a)≥0，解得a≥6．综上所述a≥6．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查导数的几何意义、函数单调性与其导函数的正负之间的关系，属基础题．