已知函数 f(x)=lnx+ 1-x ax ，其中a为大于零的常数．

f′(x)=
ax-1
a x 2 (x＞0) ． （2分）
（Ⅰ）当a=1时， f′(x)=
x-1
x 2 (x＞0) ．
当x＞1时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0．
∴f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．（4分）
（Ⅱ）当a≥1时，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，
这时f（x）在[1，2]上为增函数∴f（x） _min =f（1）=0．
当 0＜a≤
1
2 ，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，
这时f（x）在[1，2]上为减函数∴ f (x) min =f(2)=ln2-
1
2a ．
当
1
2 ＜a＜1 时，令f′（x）=0，得 x=
1
a ∈(1，2) ．
又∵对于 x∈[1，
1
a ) 有f′（x）＜0，
对于 x∈(
1
a ，2] 有f′（x）＞0，
∴ f (x) min =f(
1
a )=ln
1
a +1-
1
a ，（6分）
综上，f（x）在[1，2]上的最小值为
①当 0＜a≤
1
2 时， f (x) mim =ln2-
1
2a ；
②当
1
2 ＜a＜1 时， f(x ) min =ln
1
a +1-
1
a .
③当a≥1时，f（x） _min =0；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数 f(x)=
1
x -1+lnx 在[1，+∞）上为增函数，
当n＞1时，∵
n
n-1 ＞1 ，∴ f(
n
n-1 )＞f(1) ，
即 lnn-ln(n-1)＞
1
n ，对于n∈N ^* 且n＞1恒成立．（10分）
lnn=[lnn-ln（n-1）]+[ln（n-1）-ln（n-2）]++[ln3-ln2]+[ln2-ln1] ＞
1
n +
1
n-1 ++
1
3 +
1
2 ，
∴对于n∈N ^* ，且n＞1时， lnn＞
1
2 +
1
3 ++
1
n 恒成立．（12分）