已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象在点（1，f（1））的切线l过点（0，c-1）

（1）函数f（x）=ax²+bx+c的导数f′（x）=2ax+b，
f′（1）=2a+b，f（1）=a+b+c，
由于切线l过点（0，c-1），则2a+b=
a+b+c−(c−1)
1，
∴a=1．
（2）当b=2c＞0时，函数F（x）=x[f（x）+c²-c]
=x（x²+2cx+c+c²-c）=x（x+c）²，F′（x）=（x+c）（3x+c），
当-c≤x≤−
c
3时，F′（x）≤0，-[c/3]≤x≤c时，F′（x）≥0，
则F（x）在x=-[c/3]处取极小值，也为最小值，且为-[4/27]c³，
F（c）=4c³，F（-c）=0，则最大值为4c³，
由于对任意x₁，x₂∈[-c，c]，不等式|F（x₁）-F（x₂）|≤[1/3]c恒成立，
即有[1/3]c≥4c³-（-[4/27]c³），
由于c＞0，则c≤
3
7
28，
故c的最大值为
3
7
28．