（2006•朝阳区一模）已知函数f(x)＝axx2+b，在x=1处取得极值为2．

解题思路：（I）由题意对函数求导，然后利用极值的概念列出关于a，b的方程，求解即可；
（II）由题意应该先求具体函数的单调增区间，然后利用已知的条件及集合的思想，建立的m取值范围的不等式組求解即可；
（III）找出直线l的斜率k=f′（x₀），再利用换元法求出k的最小值和最大值，即可得到直线l的斜率的取值范围．

（Ⅰ）已知函数f(x)＝
ax
x2+b，
∴f′(x)＝
a(x2+b)−ax(2x)
(x2+b)2
又函数f（x）在x=1处取得极值2，
∴

f′(1)＝0
f(1)＝2
即

a(1+b)−2a＝0

a
1+b＝2⇒

a＝4
b＝1
∴f(x)＝
4x
x2+1…（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)＝
4(x2+1)−4x(2x)
(x2+1)2＝
4−4x2
(x

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及计算能力，解答的关键是导数工具的灵活运用．