函数f（x）=ax2+2x+1，g（x）=lnx．

解题思路：（I）由F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，其定义域为（0，+∞），知F‘(x)＝2ax+2−

1

x

=

2ax2+2x−1

x

，由F（x）有两个极值点，知方程2ax²+2x-1=0有两个不相等的正根，由此能求出F（x）有两个极值点的充要条件．
（II）不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是a≥

lnx−(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立．令h（x）=lnx-（2x+1），则h′(x)＝

1

x

−2＝

1−2x

x

，由此能够证明当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

（I）函数f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx，
∴F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，
其定义域为（0，+∞）．
∴F‘(x)＝2ax+2−
1
x=
2ax2+2x−1
x，
∴F（x）有两个极值点，
∴方程2ax²+2x-1=0有两个不相等的正根，
∴

△＝4+8a＞0
x1+x2＝−
1
a＞0
x1•x2＝−
1
2a＞0，
解得−
1
2＜a＜0，
∴F（x）有两个极值点的充要条件是−
1
2＜a＜0．
（II）证明：不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是：
F（x）=ax²+2x+1-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≥
lnx−(2x+1)
x2在（0，+∞）上恒成立．
令h（x）=lnx-（2x+1），则h′(x)＝
1
x−2＝
1−2x
x，
当x∈(0，
1
2)时，h′（x）＞0，
当x∈(
1
2，+∞)时，h′（x）＜0．
∴x＝
1
2时，h（x）_max=ln
1
2−2＜0，
故x∈（0，+∞），都有
lnx−(2x+1)
x2＜0，
∴当a≥0时，a≥
lnx−(2x+1)
x2在（0，+∞）上恒成立，
即当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是a≥lnx−(2x+1)x2在（0，+∞）上恒成立，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

(1)F(x)=f(x)-g(x)=ax^2+2x+1-lnx. F(x)'=2ax+2-1/x=(2ax*x+2x-1)/x (x>0)
F(x)有两个极值点的充要条件: Δ>0，a≠0，[-2-√(4+8a)]/(2a)>0 (存在两根时最小的要大于0)
解得：-1/2(2)证明;
1)a=0时：F(x)=f(x)-g(x)...

令f(x)-g(x)=ax^2+lnx-0.5x^2-2ax>1;即(a-0.5)x^2+lnx-2ax>0;后面你自己可以解决拉。。

(1)F‘(x)=f’(x)-g‘(x),=2ax+2-1/x=(2ax^2+2x-1)/x
故F(x)有两个极值点的充要条件是：2ax^2+2x-1=0的判别式4+8a>0及相应的[-1±√(1+2a)]/2a>0
解得：-1/2(2)a>0时F‘(x)=0有唯一实根x0=1/[1+√(1+2a)]
F''(x)=2a+1/x^2
F''(x0...