蓝马_驭风 幼苗
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a |
a |
a |
(Ⅰ)当a=1时,f(x)=2lnx-x2+1,
f′(x)=
−2(x2−1)
x,(x>0),
令f′(x)<0.∵x>0,∴x2-1>0,解得:x>1,
∴函数f(x)的单调递减区间是(1,+∞);
(Ⅱ)f′(x)=
−2(x2−a)
x,(x>0),
令f′(x)=0,由a>0,解得x1=
a,x2=-
a(舍去),
①当
a≤1,即0<a≤1时,在区间[1,+∞)上f′(x)≤0,函数f(x)是减函数.
所以 函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值为f(1)=0;
②当
a>1,即a>1时,x在[1,+∞)上变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表
x1(1,
a)
a(
a,+∞)
f′(x)+0-
f(x)0↗alna-a+1↘∴函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值为f(
a)=alna-a+1,
综上所述:当0<a≤1时,函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值为f(1)=0;
当a>1时,函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值为f(
a)=alna-a+1,
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知:当0<a≤1时,f(x)≤f(1)=0在区间[1,+∞)上恒成立;
当a>1时,由于f(x)在区间[1,
a]上是增函数,
∴f(
a)>f(1)=0,即在区间[1,+∞)上存在x=
a使得f(x)>0.
综上所述,a的最大值为1.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查了导数的应用,是一道中档题.
1年前
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