（2014•佛山二模）已知函数f（x）=alnx-[1/x]，（其中a∈R）

（1）h（x）=alnx-[1/x]+x，定义域为（0，+∞），----------1分
h′（x）=[a/x]+[1
x2+1=
x2+ax+1
x2--------------------------------2分
令g（x）=x²+ax+1，判别式△=a²-4，
当△≤0即-2≤a≤2时，g（x）≥0，h′（x）≥0，此时h（x）在（0，+∞）上单调递增；-----4分
当△＞0即a＜-2或a＞2时，由g（x）=0得x₁=
−a−
a2−4/2]，x₂=
−a+
a2−4
2，------------5分
若a＞2，则x₁＜0，又x₁x₂=1＞0，所以x₂＜0，故h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立．
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；--------------------------------6分
若a＜-2，则x₂＞0，又x₁x₂=1＞0所以x₁＞0，此时，当x∈（0，x₁）时，h′（x）＞0，
当x∈（x₁，x₂）时，h′（x）＜0，当x∈（x₂，+∞）时，h′（x）＞0，
故h（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减；--------------7分
综上所述，当a≥-2时，h（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜-2时，h（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减；--------------8分
（2）f′（x）=[a/x]+[1
x2=
ax+1
x2（x＞0），
当a=0时，f（x）=-
1/x]=0无实数根，此时函数f（x）无零点；-----------------------------------9分
当a＞0时，f′（x）＞0，f（1）=-1＜0，而f（e
1
a）=1-e−
1
a＞0，
根据零点的存在性定理，f（x）在（0，+∞）上只有唯一的零点，------------------------------11分
当a＜0时，x∈（0，-[1/a]）时，f′（x）＞0，x∈（-[1/a

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．

考点点评： 本题考查了函数导数与单调性、极值、最值、函数零点等基础知识，考查函数与方程的思想，数形结合思想，转化与化归思想以及考生的推理论证能力．

1年前

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