已知点P是椭圆x216+y27=1上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|=λ．求点M的轨迹方程，并

设M（x，y），其中x∈[-4，4]．
由已知
|OP|
|OM|=λ及点P在椭圆C上，可得
9x2+112
16(x2+y2)=λ²，
整理得（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，其中x∈[-4，4]．
①λ=[3/4]时，化简得9y²=112．
所以点M的轨迹方程为y=±
4
7
3（-4≤x≤4），轨迹是两条平行于x轴的线段．
②λ≠[3/4]时，方程变形为
x2

112
16λ2-9+
y2

112
16λ2=1，其中x∈[-4，4]；
当0＜λ＜[3/4]时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；
当[3/4]＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质

考点点评： 本题主要考查圆锥曲线的定义和性质及其方程．考查分类讨论思想，是中档题．