（2012•邯郸模拟）已知函数f（x）=ax2-（2+5a）x+5lnx（a∈R）．

解题思路：（Ⅰ）由f′(x)＝2ax−(2+5a)+

5

x

，x＞0和曲线y=f（x）在x=3和x=5处的切线互相平行，知f′（3）=f′（5），由此能求出a．
（Ⅱ）由f′(x)＝2ax−(2+5a)+

5

x

=

(ax−1)(2x−5)

x

，x＞0，根据a的符号进行分类讨论，能够求出f（x）的单调递区间．
（Ⅲ）g(x)＝x2−

5

2

x，对任意x1∈(0，

5

2

]，均存在x2∈(0，

5

2

]，使得f（x₁）＜g（x₂），等价于在（0，[5/2]]上，有f（x）_max＜g（x）_max．由此能求出a的取值范围．

（Ⅰ）∵f（x）=ax²-（2+5a）x+5lnx，
∴f′(x)＝2ax−(2+5a)+
5
x，x＞0．
∵曲线y=f（x）在x=3和x=5处的切线互相平行，
∴f′（3）=f′（5），即6a-（2+5a）+[5/3]=10a-（2+5a）+1，
解得a=[1/6]．
（Ⅱ）∵f′(x)＝2ax−(2+5a)+
5
x=
(ax−1)(2x−5)
x，x＞0，
①当a≤0时，x＞0，ax-1＜0，
在区间（0，[5/2]）上，f′（x）＞0；
在区间（[5/2]，+∞）上，f′（x）＜0．
故f（x）的增区间是（0，[5/2]），减区间是（[5/2]，+∞）．
②当0＜a＜[2/5]时，[1/a＞
5
2]．在区间（0，[5/2]）和（[1/a]，+∞）上，f′（x）＞0；
在区间（[5/2]，[1/a]）上，f′（x）＜0．
故f（x）的增区间是（0，[5/2]），（[1/a]，+∞），减区间是（[5/2]，[1/a]）．
③当a=[2/5]时，f′(x)＝
4(x−
5
2)2
5x，
故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
④当a＞[2/5]时，0＜[1/a＜
5
2]，
在区间（0，[1/a]）和（

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数的几何意义的应用，考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大．解题时要认真等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．