已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为[4π/3]的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表

已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为[4π/3]的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（　　）A. 6

B. 12

C. 18

D. 24

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解题思路：由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．

由球的体积公式，得[4/3]πR³=[4π/3]，
∴R=1．
∴正三棱柱的高h=2R=2．
设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：[1/3]•

3
2a=1，
∴a=2
3．
∴该正三棱柱的表面积为：3a•2R+2×

3
4×a2=18
3．
故选C．

点评：
本题考点： ["二力平衡条件的应用"]

考点点评：本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．

1年前

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