知直线L与抛物线Y^2=8X相交于A.B两个不同点；点O为原点

知直线L与抛物线Y^2=8X相交于A.B两个不同点；点O为原点
1.若直线L过抛物线的焦点.求向量OA乘以向量OB的值
2.若向量OA乘以OB等于负12.证明直线L必过一点M、并求点M的坐标
【解】
1.若直线L过抛物线的焦点.求向量OA乘以向量OB的值
抛物线的焦点坐标为：（2,0）可设过这一点的直线方程为：y=k(x-2)
设A点坐标为：（Xa,Ya)、B点坐标为：（Xb,Yb)
则向量OA为：（Xa,Ya)、向量OB为：（Xb,Yb)
下面我将题中【向量OA乘以向量OB】理解为向量的内积
则：向量OA与向量OB的内积=XaXb+YaYb 1式
Ya和Yb满足直线方程,故：Ya=k(Xa-2)、Yb=k(Xb-2)
代入1式化简得：向量OA与向量OB的内积=XaXb+k^2(Xa-2)(Xb-2)=XaXb+k^2[XaXb+4-2(Xa+Xb)]
将直线方程代入抛物线方程,消去y,得：k^2x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0
上述方程的根为A、B交点的横坐标,由韦达定理可知：Xa+Xb=（4k^2+8)/k^2,XaXb=4
代入向量OA与向量OB的内积表达式中化简得：向量OA与向量OB的内积=-12
2.若向量OA乘以OB等于负12.证明直线L必过一点M、并求点M的坐标
设直线L：y=kx+b与抛物线交于A、B两点
并设A点坐标为：（Xa,Ya)、B点坐标为：（Xb,Yb)
同上求向量OA与向量OB的内积：
向量OA与向量OB的内积=XaXb+YaYb= XaXb+k^2 XaXb+kb(Xa+Xb)+b^2=-12 2式
将直线方程代入抛物线方程中消去y,k^2x^2+(2kb-8)x+b^2=0
韦达定理：Xa+Xb=(8-2kb)/k^2,XaXb=b^2/k^2
代入2式,整理得：12k^2+8kb+b^2=0
解之得：k=-b/2或k=-b/6
如此直线方程为：y=(-b/2)(x-2)或y=(-b/6)(x-6)
由此可见：无论b取何值,直线总会经过（2,0）或（6,0）这样的定点.
所以：M点的坐标为（2,0）或（6,0）
【OK】