在圆O：x2+y2=4上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M形成轨迹C．

解题思路：（1）设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，把P的坐标代入圆x²+y²=4整理得线段PD的中点M的轨迹方程；
（2）联立直线y=x和椭圆x2+

y2

4

＝1，求出AB的长；设过Q且与直线y=x平行的直线为y=x+t，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，求出t，和两平行直线间的距离，再由面积公式，即可得到最大值．

（1）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y₁）
∵M为线段PD的中点，∴y₁+0=2y，y₁=2y．
又∵P（x，y₁）在圆x²+y²=4上，∴x2+y12=4，
∴x²+4y²=4，即
x2
4+y²=1．
∴轨迹C为椭圆，且方程为x2+
y2
4＝1；
（2）联立直线y=x和椭圆x2+
y2
4＝1，得到5x²=4，即x=±
2
5
5，
即有A（
2
5
5，
2
5
5），B（-
2
5
5，-
2
5
5），
|AB|=
4

点评：
本题考点： 直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系，注意等价的条件，同时考查联立方程，消去变量的运算能力，属于中档题．