（2010•舟山模拟）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC

解题思路：（1）根据已知中D是BC的中点，我们可得AD⊥面CC₁B₁B，进而AD⊥B₁F，FD⊥B₁F，结合线面垂直的判定定理即可得到B₁F⊥平面ADF；
（2）延长FD、B₁B交于G，则AG为所求二面角的棱，过B₁作B₁H⊥AG，且B₁H与AG交于H，可得∠B₁HF为所求二面角的平面角，解三角形B₁HF即可得到平面ADF与平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

证明：（1）因为AB=AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．
又侧面CC₁B₁B⊥平面ABC，所以AD⊥面CC₁B₁B
又B₁F⊂面CC₁B₁B，所以AD⊥B₁F
在Rt△B₁C₁F中，tan∠C₁B₁F=[1/2]，在Rt△DCF中 tan∠CFD=[1/2]，
所以∠C₁B₁F=∠CFD，∠C₁FB₁+∠CFD=[π/2]-∠C₁B₁F+∠CFD=[π/2]，∠B₁FD=π-（∠C₁FB₁+∠CFD）=[π/2]
即FD⊥B₁F，所以B₁F⊥平面ADF；．…（6分）
（2）延长FD、B₁B交于G，则AG为所求二面角的棱．由Rt△FCD≌Rt△GBD得：CF=GB=2a．
过B₁作B₁H⊥AG，且B₁H与AG交于H，又 B₁F⊥平面ADF，FH⊥AG，
∠B₁HF为所求二面角的平面角．
由Rt△ABG和Rt△B₁HD相似得：B₁H=
15a

13．又B₁F=
B1
C21+C1F2=
5a，所以 sin∠B₁HF=

65
15．
即所求二面角的正弦值是

65
15．…（12分）

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中（1）的关键是证明出AD⊥B1F，FD⊥B1F，（2）的关键是求出∠B1HF为所求二面角的平面角．