已知有m个学生,学号依次为1,2,.i...,m,成绩为集合A={a1,a2,...,an},a1＜a2＜a3＜...＜

这个其实是可重复组合数, 即从n元集合中选m个元素并允许重复的组合数.
解释一:
传统隔板法的经典应用是如下问题:
求X1+X2+...+Xr = k的正整数解的组数(计次序, 即X1 = 1, X2 = 2与X1 = 2, X2 = 1是不同的).
相当于在k个对象间的k-1个空隙插入r-1个隔板, 将k个对象分为r段.
因此结果为C(r-1,k-1).
问题稍加改变:
求X1+X2+...+Xr = k的非负整数解的组数(计次序).
此时会出现一个空隙多个隔板的情况, 且有k+1个空隙可选择(包括第一个前面和最后一个后面).
但是有很简单的办法把问题化为正整数解的情形:
X1+X2+...+Xr = k的非负整数解一一对应于Y1+Y2+...+Yr = k+r的正整数解.
对应方法就是取Y1 = X1+1, Y2 = X2+1, ..., Yr = Xr+1.
因此非负整数解的组数为C(r-1,k+r-1).
从隔板法的角度看, 上述非负整数解问题相当于从k+1个空隙中选r-1个并允许重复的组合数.
于是从n元集合中选m个元素并允许重复的组合数为C(m,n+m-1) (取k = n-1, r = m+1).
解释二:
其实和解释一很像, 不过这里专注于原题, 而且不涉及隔板.
首先不妨设a1 = 1, a2 = 2,..., an = n.
于是学生的成绩分布就是由1至n的整数组成的长为m的递增数列(不一定严格递增).
进行这样的变换: 对i = 1, 2,..., m, 将第i个学生的成绩增加i-1.
易验证上述变换将递增数列变为严格递增数列.
实际上给出{长为m范围1~n的递增数列}和{长为m范围1~n+m-1的严格递增数列}的一一对应.
而后者的个数就是C(m,n+m-1).
解释三:
我们将每种成绩分布对应于由n个成绩和m个学生共n+m个对象的一个满足一定条件的排列.
要求成绩和学生的学号分别都是递增的, 且排在第一位的是成绩.
这样的排列与成绩分布可以建立一一对应.
为了由排列得到分布, 将一个学生的成绩取为排在其前面的距离最近的成绩.
注意虽然排在学生前一位的可能是学生, 但再往前总能找到成绩.
反过来给定成绩分布, 可将取得一个成绩的学生按学号递增顺序排在该成绩的后面.
于是只需计数这样的排列的种数.
由于要求成绩和学生的学号分别都是递增的, 实际上排列由学生的位置唯一决定.
即只要确定m个学生排在n+m个位置中的哪m个位置, 剩下的只要按递增顺序将成绩和学生排进去.
由于要求排在第一位的是成绩, 因此实际只有n+m-1个可选位置, 共C(m,n+m-1)种选法.
因此成绩分布也共有C(m,n+m-1)种.