ArlenZhao 春芽
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(1)由已知n∈N*时,2Sn=an+an2,
∴2S n−1 =an-1+an−12,n≥2,
两式相减,得2an=an+an2−an−1−an−12,
∴an+an-1=(an+an-1)(an-an-1),
又an,an-1为正数,∴an-an-1=1,n≥2.…(4分)
∴{an}是公差为1的等差数列.
当n=1时,2S1=a1+a12,得a1=1或a1=0(舍去),∴an=n.…(6分)
(2)假设存在正整数p,满足ln(p+an)<2an,即p+n<e2n.
∴p<e2n-n,n∈N*.…(8分)
设函数f(x)=e2x-x,x≥1,则f(x)′=2e2x-1.
当x≥1时,f′(x)>0,∴f(x)在[1,+∞)上为增函数.
∴f(x)≥f(1)=e2-1,即有e2n-n≥e2-1.
∵p为满足p<e2-1的最大正整数,而6<e2-1<7,故p=6.…(12分)
点评:
本题考点: 数列的求和.
考点点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查最大正整数p的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
1年前
你能帮帮他们吗