三角形三边 代数证明题设a.b.c是三角形ABC的三边,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)-a3
三角形三边 代数证明题
设a.b.c是三角形ABC的三边,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)-a3-b3-c3>2abc
注:2为平方,3为立方.
如果不会做得话,请告诉我,三角形三边除了"两边之和大于第三边"和"两边之差小于第三边"还有什么关系啊
设a.b.c是三角形ABC的三边,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)-a3-b3-c3>2abc
注:2为平方,3为立方.
如果不会做得话,请告诉我,三角形三边除了"两边之和大于第三边"和"两边之差小于第三边"还有什么关系啊
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a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)-a^3-b^3-c^3
=a(b^2+c^2-a^2)+b(a^2+c^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)
=cosA*2abc+cosB*2abc+cosC*2abc（余弦定理）
=2abc(cosA+cosB+cosC)
只需证明cosA+cosB+cosC>1即可.
cosA+cosB+cosC = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)+1-2sin^2(C/2)
= 2sin(C/2)cos((A-B)/2)+1-2sin^2(C/2)
= 1 + 2sin(C/2)*(cos((A-B)/2)-sin(C/2))
= 1 + 2sin(C/2)*(cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2))
= 1 + 4sin(C/2)sin(A/2)sin(B/2)
> 1
=a(b^2+c^2-a^2)+b(a^2+c^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)
=cosA*2abc+cosB*2abc+cosC*2abc（余弦定理）
=2abc(cosA+cosB+cosC)
只需证明cosA+cosB+cosC>1即可.
cosA+cosB+cosC = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)+1-2sin^2(C/2)
= 2sin(C/2)cos((A-B)/2)+1-2sin^2(C/2)
= 1 + 2sin(C/2)*(cos((A-B)/2)-sin(C/2))
= 1 + 2sin(C/2)*(cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2))
= 1 + 4sin(C/2)sin(A/2)sin(B/2)
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