1、在1,2,3,4……100这100个自然数中任取两个不同的数,使得取出的两个数之和是六的倍数,则有多少种不同的取法?

1.自然数被6除余数有6种情况：1,2,3,4,5,0
在1到100中,对应6种余数的情况的数分别有17,17,17,17,16,16个,若要取出的数之和被6整除,即要二者的余数相加为6
将这100个数按余数分为6组,若2个数在不同组,要被6整除只有1+5,2+4两种情况.则是17*17*2=578种.
若2个数在同一组,则只有均在余数为3的组或余数为0的组,则有(17*16/2)*2=272种.
两种情况合计578+272=850种.
2.要使两个数的和不是9的倍数,那么这两个数的余数和不能是9或0,所以这题的关键是先求出20～50这31个自然数分别除以9的余数
这31个自然数中,被9除余2、3、4、5的数各有4个,其余情况各有5个.根据题意,余数和是9或0的两个数不能同时取,并要尽可能多的取,所以取被9除余2、3、4的3组数,被9除余1或8的个数一样多,任取1组,能被9整除的数只能取1个,所以最多能取出这样的数是：
4×3+3+1=16（个）.