已知函数f（x）=[1/3]x3-[a+1/2]x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．

f（x）=[1/3]x³-[a+1/2]x²+bx+a，f′（x）=x²-（a+1）x+b
由f′（0）=0得b=0，f′（x）=x（x-a-1）．
（1）当a=1时，f′（x）=x（x-2）．
∴f′（3）=1，f（3）=3，
∴函数f（x）的图象在x=3处的切线方程为y-1=3（x-3），即3x-y-8=0；
（2）存在x≤-2，使得f′（x）=x（x-a-1）=-9，
-a-1=-x-[9/x]=（-x）+（-[9/x]）≥6，
∴a≤-7，
当且仅当x=-3时，a=-7．所以a的最大值为-7．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查了利用导数求切线方程，以及基本不等式的应用，属于中档题．