（2013•深圳二模）已知函数f（x）=lnx-ax2-（1-2a）x（a＞0）．

（1）由f（x）=lnx-ax²-（1-2a）x（a＞0），
得f′(x)＝
1/x−2ax−1+2a=
−(x−1)(2ax+1)
x]．
函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上为增函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上为减函数．
∴f（x）_max=f（1）=ln1-a-1+2a=a-1．
（2）∵a＞0，∴e^a＞1，0＜[1
ea＜1．
由（1）知：f（x）在(
1
ea，1)上为增函数，在（1，2）上为减函数．
∴函数f（x）在区间（
1
ea，2）上的f（1）=a-1．
∵f(
1
ea)＝ln
1
ea−a•(
1
ea)2−(1−2a)•
1
ea
=−a−
a
e2a+
2a−1
ea=
−a•e2a+2a•ea−ea−a
e2a
=
a•ea(a−ea)−ea−a
e2a＜0．
f（2）=ln2-4a-2+4a=ln-2＜0．
∴当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（
1
ea，2）上的零点的个数为0；
当a=1时，函数f（x）在区间（
1
ea，2）上的零点的个数为1；
当a＞1时，函数f（x）在区间（
1
ea，2）上的零点的个数为2．
（3）证明：不妨设x₁＞x₂＞0，
则
f(x1)−f(x2)
x1−x2＝

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查了函数构造法，属于高考试卷中的压轴题．

1年前

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