（2011•蓝山县模拟）把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第n行有n个数，设第n行左侧第一个数为an，如a5

解题思路：方法一：（特值法）根据T₂=a₁+a₂=3，把n=2代入选项，排除C、D，再代入n=4，可判断选项；
方法二：因为当n为奇数时，an＝1+2+…+n＝

n(n+1)

2

，当n为偶数时，a_n=a_n-1+1，然后利用分组求和法求出数列{a_n}的前n项和T_n（n为偶数），可得结论．

方法一：（特值法）因为T₂=a₁+a₂=3，把n=2代入选项，排除C、D，再代入n=4，因为T₄=16，B选项满足，故选B．
方法二：因为当n为奇数时，an＝1+2+…+n＝
n(n+1)
2，当n为偶数时，a_n=a_n-1+1，
故n是偶数时，T_n=a₁+（a₁+1）+a₃+（a₃+1）+…+a_n-1+（a_n-1+1）
=2a₁+1+2a₃+1+…+2a_n-1+1
=2(a1+a3+…+an−1)+
n
2
=1×2+3×4+…+(n−1)n+
n
2
=（1²+1）+（3²+3）+…+[（n-1）²+（n-1）]+
n
2
=[1²+3²+5²+…+（n-1）²]+[1+3+…+（n-1）]+
n
2
令S=1²+2²+…+（n-1）²+n²，A=1²+3²+5²+…+（n-1）²，B=2²+4²+6²+…+n²，
A-B=1²-2²+3²-4²+5²-6²+…+（n-1）²-n²=-1-2-3-4-…-（n-1）-n=−
n(n+1)
2，
又A+B＝
n(n+1)(2n+1)
6，得A＝

n(n+1)(2n+1)
6−
n(n+1)
2
2=
n(n+1)(n−1)
6
则 T_n=
n(n+1)(n−1)
6+
(1+n−1)•
n
2
2+
n
2=
n(n2−1)
6+
n2
4+
n
2=
n3
6+
n2
4+
n
3．
故选B．

点评：
本题考点： 归纳推理；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查了数列的求和，以及特殊值法的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．