已知椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上,点A(-2√3,0)是其左顶点,点C在椭圆上（Y轴的上方）,
已知椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上,点A(-2√3,0)是其左顶点,点C在椭圆上（Y轴的上方）,
且向量AC·向量CO＝0,|AC|=|CO|.若平行于CO的直线l与椭圆交于M,N两个不同的点,求△CMN面积的最大值,并求此时直线l的方程.
且向量AC·向量CO＝0,|AC|=|CO|.若平行于CO的直线l与椭圆交于M,N两个不同的点,求△CMN面积的最大值,并求此时直线l的方程.
赞 慎嗔 幼苗
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1、由向量AC和CO垂直,且|AC|=|CO|,可知三角形ACO是等腰直角三角形,点C恰是AO的中点,由A的坐标极容易知C的坐标是(-√3,√3),代入椭圆方程,可算出该椭圆方程是X^2/12+Y^2/4=1.
2、由直线l与CO平行,可以设l的方程为Y=-X+S,S就是l在x轴上的截距,由于CO过原点,我们只需要考虑S>0这一半就够了.
3、此时点C与直线l的距离d用S表示,就是d=S/√2.
4、计算直线与椭圆相交的弦长.将直线方程Y=-X+S代入椭圆方程X^2/12+Y^2/4=1,得到4X^2-6SX+3S^2-12=0.此时可设两交点M、N的x轴坐标分别是x1、x2,则弦长L=√2|x1-x2|.
L^2=2(x1-x2)^2=2(x1+x2)^2-8x1x2,然后联系上面椭圆方程的根与系数关系,可知x1+x2=(3/2)S,x1*x2=(3S^2-12)/4,代入得
L^2=24-(3/2)S^2
三角形的面积s为
s=(1/2)*d*L,为计算方便,可以乘方,即
s^2=(1/4)*(S^2/2)*[24-(3/2)S^2],简化一下就是
s^2=(3/16)*S^2(16-S^2)
想要s最大,就是要S^2=16-S^2,可得S=2√2,
那么最大面积就是s=2√3,此时l的方程就是Y=-X+2√2.
2、由直线l与CO平行,可以设l的方程为Y=-X+S,S就是l在x轴上的截距,由于CO过原点,我们只需要考虑S>0这一半就够了.
3、此时点C与直线l的距离d用S表示,就是d=S/√2.
4、计算直线与椭圆相交的弦长.将直线方程Y=-X+S代入椭圆方程X^2/12+Y^2/4=1,得到4X^2-6SX+3S^2-12=0.此时可设两交点M、N的x轴坐标分别是x1、x2,则弦长L=√2|x1-x2|.
L^2=2(x1-x2)^2=2(x1+x2)^2-8x1x2,然后联系上面椭圆方程的根与系数关系,可知x1+x2=(3/2)S,x1*x2=(3S^2-12)/4,代入得
L^2=24-(3/2)S^2
三角形的面积s为
s=(1/2)*d*L,为计算方便,可以乘方,即
s^2=(1/4)*(S^2/2)*[24-(3/2)S^2],简化一下就是
s^2=(3/16)*S^2(16-S^2)
想要s最大,就是要S^2=16-S^2,可得S=2√2,
那么最大面积就是s=2√3,此时l的方程就是Y=-X+2√2.
1年前 追问
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