一道数学奥赛题,AD,BE,CF,是三角形ABC的三条中线,若BC=a,CA=b,AB=c,则AD2+BE2+CF2=?

答：用三角形的三边a、b、c来表示它的三条中线长如下：
AD=1/2√(2b²+2c²-a²)
BE=1/2√(2c²+2a²-b²)
CF=1/2√(2a²+2b²-c²)
借助余弦定理可以证出.只证Ma,其余证法相同.
取BC的中点D,连接AD,在△ABD中,BD=a/2,由余弦定理得
AD²=AB²+BD²-2AB*BDcosB
=c²+a²/4-2*c*a/2*cosB .①
在△ABC中,有：b²=c²+a²-2ac*cosB,变形为
cosB=(c²+a²-b²)/2ca.②
将②代入①式,得
AD²=c²+a²/4-2*c*a/2*(c²+a²-b²)/2ca
=c²+a²/4-(c²+a²-b²)/2
=(4c²+a²)/4-(2c²+2a²-2b²)/4
=(2b²+2c²-a²)/4
所以AD=1/2*√(2b²+2c²-a²).
所以：
AD²+BE²+CF²
=(2b²+2c²-a²)/4 +(2c²+2a²-b²)/4+(2a²+2b²-c²)/4
=3(a²+b²+c²)/4
附：余弦定理：设三角形的三边为a b c,各对角分别为A、B、C,则
a²=b²+c²-2bc*cosA
b²=c²+a²-2ac*cosB
c²=a²+b²-2ab*cosC
也可以去看我以前的回答：

3/4(a^2+b^2+c^2)