（2009•张家界）在平面直角坐标系中，已知A（-4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2

解题思路：（1）已知了抛物线过A，B，C三点，可根据三点的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）由于CD是圆的切线，设圆心为O′，可连接O′C，在直角三角形O′CD中科根据射影定理求出OD的长，即可得出D的坐标．
（3）可假设存在这样的点E、F，设以线段EF为直径的圆的半径为|r|，那么可用半径|r|表示出E，F两点的坐标，然后根据E，F在抛物线上，将E，F的坐标代入抛物线的解析式中，可得出关于|r|的方程，如果方程无解则说明不存在这样的E，F点，如果方程有解，可用得出的r的值求出E，F两点的坐标．

（1）令二次函数y=ax²+bx+c，
则

16a−4b+c＝0
a+b+c＝0
c＝2，
∴

a＝−
1
2
b＝−
3
2
c＝2，
∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=-[1/2]x²-[3/2]x+2．

（2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（-[3/2]，0），
∴O′C=[5/2]，
OO′=[3/2]；
∵CD为⊙O′切线
∴O′C⊥CD，
∴∠O′CO+∠OCD=90°，∠CO'O+∠O'CO=90°，
∴∠CO'O=∠DCO，
∴△O'CO∽△CDO，
∴[OO′/OC]=[OC/OD]，即

3
2
2=[2/OD]，
∴OD=[8/3]，
∴D坐标为（[8/3]，0）．

（3）存在，
抛物线对称轴为x=-[3/2]，
设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为

点评：
本题考点： 二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；切线的性质；相似三角形的判定与性质；射影定理．

考点点评： 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似、切线的性质等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．