（2014•安庆三模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b

解题思路：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用正弦定理求得 b²+c²-a²=-bc．再由余弦定理求得cosA=

b2+c2−a2

2bc

的值，可得A的值．
（Ⅱ）利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=-2(sinx−

1

2

)2+[3/2]，再利用二次函数的性质求得函数f（x）的值域．

（Ⅰ）△ABC中，∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
利用正弦定理可得 2a²=2b²+bc+2c²+bc，即 b²+c²-a²=-bc．
再由余弦定理可得 cosA=
b2+c2−a2
2bc=-[1/2]，∴A=[2π/3]．
（Ⅱ）函数f（x）=cos2x-4cosAsinx=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2(sinx−
1
2)2+[3/2]，
故当sinx=[1/2]时，函数f（x）取得最大值为[3/2]，当sinx=[1/2]=-1时，函数f（x）取得最小值为-3，
故函数f（x）的值域为[-3，[3/2]]．

点评：
本题考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数；余弦定理．

考点点评： 本题主要考查正弦定理、余弦定理、正弦函数的值域、二倍角公式、二次函数的性质，属于中档题．