已知函数f（x）=alnx+x2 （a为实常数）．

解题思路：（1）把a=-4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（2）把原函数f（x）=alnx+x²求导，分a≥0和a＜0讨论打哦函数的单调性，特别是当a＜0时，求出函数f（x）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x∈[1，e]时，方程f（x）=0根的个数．

（1）当a=-4时，f（x）=-4lnx+x²，
函数的定义域为（0，+∞）．
∴f′(x)＝−
4
x+2x
令f'（x）=0得，x＝
2或x＝−
2舍去．
∵x∈[1，
2)时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）在[1，
2)上为减函数，在(
2，e]上为增函数，
由f（1）=-4ln1+1²=1，f（e）=-4lne+e²=e²-4，
∴函数f（x）在[1，e]上的最大值为e²-4，相应的x值为e；
（2）由f（x）=alnx+x²，得
f′(x)＝
a
x+2x
若a≥0，则在[1，e]上f′（x）＞0，函数f（x）=alnx+x²在[1，e]上为增函数，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；
若a＜0，由f′（x）=0，得x=

−2a
2或x=-

−2a
2（舍去）
若

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，此题是有一定难度题目．