已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14成等比数列．

解题思路：（1）由等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列，知(a1+d)(a1+13d)＝(a1+4d)2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn＝

1

n(an+3)

＝

1

2n(n+1)

＝

1

2

(

1

n

−

1

n+1

)，利用裂项求和法能求出S_n．从而得到Sn＞

1

36

．

（1）∵等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列，
∴(a1+d)(a1+13d)＝(a1+4d)2
整理得：2a1d＝d2，
∵a₁=1，解得d=2（d=0舍去）
∴an＝2n−1(n∈N*)，
（2）bn＝
1
n(an+3)＝
1
2n(n+1)＝
1
2(
1
n−
1
n+1)，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=[1/2[(1−
1
2)+(
1
2−
1
3)+…+(
1
n−
1
n+1)]
=
1
2(1−
1
n+1)，
∴当n=1时，S_n取最小值S1＝
1
2(1−
1
2)=
1
4]＞
1
36．
∴Sn＞
1
36．

点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评： 本题考查数列通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．