设函数f（x）=-x（x-a）2，x∈R，其中a∈R．

（Ⅰ）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，所以f'（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．．
令f'（x）=0，得x=a或x=[a/3]．
①若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x （-∞，[a/3]） [a/3] （[a/3]，a） a （a，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -因此，函数f（x）在x=[a/3]处取得极小值f(
a
3)＝−
4
27a3；函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．…（4分）
②若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x （-∞，a） a （a，[a/3]） [a/3] （[a/3]，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；函数f（x）在x=[a/3]处取得极大值f（[a/3]），且f(
a
3)＝−
4
27a3．…（6分）
（Ⅱ）假设存在实数k∈[-1，0]，使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立，
由a＞3，得[a/3＞1，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．
由②知f（x）在（-∞，1]上是减函数，要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立，
只要k-cosx≤k²-cos²x，即cos²x-cosx≤k²-k成立．
因为g（x）=cos²x-cosx=（cosx-
1
2]）²−
1
4，所以g（x）的最大值为2．此时有k²-k≥2，解得k≥2或k≤-1．
因为k∈[-1，0]，所以k=-1．
即存在k=-1．使得f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立．

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值和最值问题，运算量较大，综合性较强．考查了学生的运算能力．