已知函数f（x）=x 3 -ax 3 +bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值
| 已知函数f（x）=x 3 -ax 3 +bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值 （1）求a，b （2）当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围． |
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（1）∵函数f（x）在x=-1和x=3时取极值，∴-1，3是方程3x 2 -2ax+b=0的两根，
∴
-1+3=
2
3 a
-1×3=
b
3 ，∴
a=3
b=-9
（2）f（x）=x 3 -3x 2 -9x+c，f′（x）=3x 2 -6x-9，当x变化时，有下表
x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
f’（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ Max
c+5 ↘ Min
c-27 ↗ 而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，∴x∈[-2，6]时f（x）的最大值为c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
当c≥0时，c+54＜2c，∴c＞54，当c＜0时，c+54＜-2c，∴c＜-18
∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）
∴
-1+3=
2
3 a
-1×3=
b
3 ，∴
a=3
b=-9
（2）f（x）=x 3 -3x 2 -9x+c，f′（x）=3x 2 -6x-9，当x变化时，有下表
x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
f’（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ Max
c+5 ↘ Min
c-27 ↗ 而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，∴x∈[-2，6]时f（x）的最大值为c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
当c≥0时，c+54＜2c，∴c＞54，当c＜0时，c+54＜-2c，∴c＜-18
∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）
1年前
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1年前2个回答
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