（2014•北京模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点B（0，3）为短轴的
（2014•北京模拟）已知椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，过右焦点F2，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE、AF分别交直线x=3于点M、N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．求证：k•k′为定值．
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解题思路：（Ⅰ）由已知条件推导出b=
，a=
=2，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x-1），由
，得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线PF2 的斜率k′=-[3/4k]．由此能证明k•k′为定值-[3/4]．
| 3 |
| ||
| sin60° |
（Ⅱ）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x-1），由
|
（本小题满分13分）
（Ⅰ）如图，∵椭圆C：
x2
a2+
y2
b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，
点B（0，
3）为短轴的一个端点，∠OF2B=60°，
∴b=
3，a=[b
sin∠OF2B=
3/sin60°]=2，…（2分）
故所求椭圆方程为
x2
4+
y2
3＝1．…（4分）
（Ⅱ）证明：设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x-1）．…（5分）
由
y＝k(x−1)
x2
4+
y2
3＝1，
得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，…（6分）
因为点F2（1，0）在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，
即△＞0恒成立
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率的乘积为定值的证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．
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