已知函数f（x）=lnx，g（x）=（1-x）f（x）

解题思路：（1）切线斜率k=f'（1），由点斜式可得切线方程；
（2）由h′（x）的符号可判断h（x）的单调性，由h（x）单调递减可得g'（x）＞g'（1）=0，从而得g（x）的单调性；
（3）x＞e

2x−2

x2+1

即lnx＞

2x−2

x2+1

，也即证（x²+1）lnx-2x+2＞0在（1，+∞）上恒成立，设函数H（x）=（x²+1）lnx-2x+2，利用导数可证；

（1）f′(x)＝(lnx)′＝
1
x，∴切线的斜率为k=f'（1）=1，


∴切线方程为y−0＝x−1
即y＝x−1．
（2）g（x）=（1-x）f（x）=lnx-xlnx，
∴g′(x)＝
1
x−lnx−1，∴h′(x)＝−
x+1
x2＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g'（x）＞g'（1）=0，g（x）在（1，+∞）上单调递增；
（3）x＞e
2x−2
x2+1即lnx＞
2x−2
x2+1，
∵x＞1，∴x²+1＞0，
∴只需证（x²+1）lnx＞2x-2，即（x²+1）lnx-2x+2＞0在（1，+∞）上恒成立，
设函数H（x）=（x²+1）lnx-2x+2，
则H′(x)＝2xlnx+
(x−1)2
x＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴H（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴H（x）＞H（1）=0，（x²+1）lnx-2x+2＞0即lnx＞
2x−2
x2+1在（1，+∞）上恒成立．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立，考查学生的运算求解能力、推理论证能力．