已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值．
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若方程f（x）=-
恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的函数f（x），对任意α，β∈R，求证：|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤81．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若方程f（x）=-
| (2a+3)2 |
| 9 |
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的函数f（x），对任意α，β∈R，求证：|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤81．
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解题思路：（Ⅰ）先确定C的值，再由极值确定a的取值范围，（Ⅱ）结合图象可知-
是极值；（3）实质是求最值的差．
| (2a+3)2 |
| 9 |
（I）由题意，f（0）=0，
∴c=0，
则f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b，且f′（1）=0．
即3+2a+b=0
∴b=-2a-3，
∴f′（x）=3x2+2ax-2a-3=3（x-1）（x+[2a+3/3]），
因为当x=1时取得极大值，
所以[2a+3/3<-1，即a<-3；
所以a的取值范围为（-∞，-3）．
（II）由下表：
x（-∞，1）1（1，-
2a+3
3]）-
2a+3
3（--
2a+3
3，+∞）
f′（x）+0-0-
f（x）递增极大值-a-2递减极小值[a+6/27(2a+3)2递增依题意得：
a+6
27(2a+3)2=-
(2a+3)2
9]或-a-2=-
(2a+3)2
9，
又由a<-3解得：a=-9．
所以函数f（x）=x3-9x2+15x．
（III）对任意的实数α，β都有-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，
在区间[-2，2]有：f（-2）=-74，f（2）=2，f（1）=7；
因此f（x）最大值=7，f（x）最小值=-74．
所以|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤7-（-74）=81．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题综合考查了函数的性质与图象及导数的综合应用，属于难题．
1年前
9
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