已知a＞0，函数f（x）=lnx-[a/x]-x．

解题思路：（1）先求出f′（x）=

-x2+x+a

x2

，（x＞0），解不等式从而求出函数的单调区间；
（2）由f′（t）=

f(m)-f(n)

m-n

=

ln m n

m-n

+[a/mn]-1，得f′（t）-f′（[m+n/2]）=[1/m-n][ln[m/n]-

2( m n -1)

m n +1

]+[a/mn]-

4a

(m+n)2

，不妨设m＞n，且[m/n]=μ，设g（μ）=lnμ-

2(μ-1)

μ+1

，从而g（μ）＞g（1）=0，得f′（t）＞f′′（[m+n/2]），故由f′（t）＞f′（[m+n/2]）知[m+n/2]＞t，即m+n＞2t．

（1）∵f′（x）=
-x2+x+a
x2，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜
1+
1+4a
2，
令f′（x）＜0，解得：x＞
1+
1+4a
2，
∴f（x）在（0，
1+
1+4a
2）递增，在（
1+
1+4a
2，+∞）递减；
（2）∵y=f（x）在x=t处的切线与直线AB平行，
∴f′（t）=
f(m)-f(n)
m-n=
ln
m
n
m-n+[a/mn]-1，
又f′（[m+n/2]）=-1+[2/m++n]+
4a
(m+n)2，
∴f′（t）-f′（[m+n/2]）=[1/m-n][ln[m/n]-
2(
m
n-1)

m
n+1]+[a/mn]-
4a
(m+n)2，
不妨设m＞n，且[m/n]=μ，
则由m＞0，n＞0，知μ＞1，
设g（μ）=lnμ-
2(μ-1)
μ+1，
则μ＞1时，g′（μ）＞0，
∴g（μ）在（1，+∞）递增，
从而g（μ）＞g（1）=0，
即ln[m/n]-
2(
m
n-1)

m
n+1＞0，
又[a/mn]-
4a
(m+n)2＞[a/mn]-
4a
(2
mn)2=0，
∴f′（t）-f′（[m+n/2]）＞0，
即f′（t）＞f′′（[m+n/2]），
令h（x）=f′（x）=-1+[1/x]，
则h′（x）=-[1
x2-
2a
x2＜0，
∴f′（x）在（0，+∞）递减，
而
m+n/2]＞0，t＞0，
故由f′（t）＞f′（[m+n/2]）知[m+n/2]＞t，
即m+n＞2t．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查不等式的证明，是一道综合题．