已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是______．

解题思路：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（[2/a]）＞0，解出即可．

当a=0时，f（x）=-3x²+1=0，解得x=±

3
3，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；
当a＞0时，令f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-[2/a]）=0，解得x=0或x=[2/a]＞0，列表如下：

x （-∞，0） 0（0，[2/a]）[2/a] （[2/a]，+∞）
f′（x）+ 0- 0+
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，应舍去．
当a＜0时，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-[2/a]）=0，解得x=0或x=[2/a]＜0，列表如下：

x （-∞，[2/a]）[2/a]（[2/a]，0）0（0，+∞）
f′（x）- 0+ 0-
f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→-∞，∴存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
∵f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，∴极小值f（[2/a]）=a（[2/a]）³-3（[2/a]）²+1＞0，
化为a²＞4，
∵a＜0，∴a＜-2．
综上可知：a的取值范围是（-∞，-2）．
故答案为：（-∞，-2）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．