（2013•惠安县质检）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=8，OC=4．现有两

（1）填空：OP=2t，OQ=4-t　…（2分）
（2）根据题意，易知：AB=4，PA=（8-2t），BC=8，CQ=t
∴S_{四边形OPBQ}=S_{四边形OABC}-S_△PAB-S_△CBQ…（3分）
=4×8-[1/2]AB×PA-[1/2]BC×CQ
=32-[1/2]×4×（8-2t）-[1/2]×8×t
=32-16+4t-4t=16
∴四边形OPBQ的面积是一个定值，这个定值是16…（5分）
（3）当∠QPB=90°时，
易证：△OPQ～△ABP…（6分）
∴[OP/AB＝
OQ
AP]（7分）
∴[2t/4＝
4−t
8−2t]
解得：t=1或t=4（不合，舍去）
∴t=1
∴OP=2，即点P（2，0）…（8分）
又点B（8，4）、点P（2，0）在抛物线y＝
1
3x2+bx+c上，
可求得：b＝−
8
3，c=4
∴此时抛物线的解析式为y＝
1
3x2−
8
3x+4…（9分）
由点P（2，0），点B（8，4）可求得直线PB的解析式为y＝
2
3x−
4
3…（10分）
则根据题意设点M（x，[2/3x−
4
3]），点 N（x，[1/3x2−
8
3x+4）…（11分）
∴MN=
2
3x−
4
3]-（
1
3x2−
8
3x+4）
=−
1
3(x−5)2+3
∴当x=5时，MN最大值为3…（12分）
此时PG=OG-OP=5-2=3，BH=CB-CH=8-5=3
∴PG与BH平行且相等
∴四边形GPHB是平行四边形．…（13分）

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等知识点以及平行四边形的判定，正确求得MN的长是关键．