设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(13)＝1．

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(
1
3
)＝1．
（1）若存在实数m，使得f（m）=2，求m的值；
（2）如果f（x）＜f（2-x）+2，求x的集合．
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YONEX0222 花朵

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解题思路：（1）令x=y=
1
3]，求出f（[1/9]），根据函数的单调性，即可求出m；
（2）由（1）得，不等式f（x）＜f（2-x）+2等价于f（x）＜f（[2x/9
−
1
9]），由函数的单调性，得到不等式组，解出即可，注意函数的定义域．

（1）∵f(
1
9)＝f(
1
3)+f(
1
3)＝2，又f（m）=2，
且函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴m＝
1
9；
（2）∵f(2−x)+2＝f(2−x)+f(
1
9)＝f(
2
9−
x
9)，
∴f（x）＜f（2-x）+2即f（x）＜f（[2x/9−
1
9]），
∵函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴

x＞0
2−x＞0
x＞
2
9−
x
9即[1/5＜x＜2，
∴使f(x)＜f(2−x)+2的x的集合为{x|
1
5＜x＜2}．

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的性质．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，考查基本的运算能力．

1年前

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