全等三角形小结包括命题与定理三角形全等的判定尺规作图逆命题与逆定理

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
全等三角形复习与小结

二. 教学目标：
1. 回顾思考本章内容,会灵活运用本章知识进行计算和证明.
2. 进一步巩固三角形全等的性质及判定三角形全等的方法,培养和提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
3. 进一步掌握数学几何问题的解法,拓展学生的发散思维能力.

三. 教学重点和难点：
重点：全等三角形的概念和性质,三角形全等的判定方法和直角三角形的性质和判定.
难点：三角形全等的判定与性质的综合应用,灵活选用判定三角形全等的方法解决问题,并能用基本尺规作图进行综合作图.

四. 本章知识网络图：


五. 本章知识要点总结：
1. 旋转的定义：
将一个平面图形F上的每一个点,绕这个平面内一定点旋转同一个角α,得到图形F',图形的这种变换叫旋转.
2. 旋转的性质：
性质1：对应点到旋转中心的距离相等.
性质2：对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等,且等于旋转角.
性质3：旋转不改变图形的形状和大小.
3. 全等三角形及其性质：
（1）全等形：能够完全重合的图形叫做全等形.
（2）全等三角形：能够完全重合的三角形叫做全等三角形.
（3）全等三角形的表示方法：比如△BCD≌△AEF
（4）全等三角形的性质：
①全等三角形的对应边相等；
②全等三角形的对应角相等；
③全等三角形周长、面积相等.
4. 三角形全等的判定定理
（1）一般三角形：SAS,ASA,AAS,SSS.
（2）直角三角形：HL,SAS,ASA,AAS,SSS.
5. 直角三角形：
（1）直角三角形的性质：
①直角三角形中两锐角互余.
②如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
④在直角三角形中,有一个角为90°.
⑤在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°.
⑥在直角三角形中,两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2＋b2＝c2.
（2）直角三角形的判定：
①有一个角为90°的三角形为直角三角形.
②有两个角互余的三角形为直角三角形.
③如果三角形的三边长a、b、c,有下面关系：
a2＋b2＝c2,那么这个三角形是直角三角形.
6. 作三角形
（1）已知三边作三角形.
（2）已知两边及其夹角作三角形
（3）已知两角及其夹边作三角形

六、规律与方法
1. 三角形的边角关系：
（1）三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
（2）三角形内角和等于180°.
（3）三角形的任一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2. 三角形的分类：

3. 证明线段相等的方法：
（1）可证明它们所在的两个三角形全等.
（2）角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等.
（3）等角对等边.
（4）等腰三角形的三线合一的性质.
（5）垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
（6）等式的性质.
（7）中点的定义.
4. 证明角相等的方法：
（1）同角（等角）的余角相等.
（2）同角（等角）的补角相等.
（3）平行线的性质：
①两直线平行,同位角相等.
②两直线平行,内错角相等.
（4）全等三角形的对应角相等.
（5）等边对等角.
（6）角平分线的定义.
（7）等式的性质.
（8）对顶角相等.
5. 证明垂直的方法
（1）证邻补角相等.
（2）证和已知直角三角形全等.
（3）勾股定理的逆定理.
6. 常见辅助线的作法：
（1）在△ABC中,如AD是中线,常采用的作法是：
①延长AD到E,使DE＝AD,连结BE（或过B作BE∥AC,交AD的延长线于E）,如图甲.
②取AC的中点E,连结DE（或过D作DE∥BA,交AC于E）,如图乙.
③延长BA至E,使AE＝AB,连结CE（或过C作CE∥AD交BA的延长线于E）,如图丙.
（2）在△ABC中,若AD是∠BAC的平分线,常采用的作法是：
①延长BA至E,使AE＝AC,连结CE（或过C作CE∥AD,交BA的延长线于E）,如图甲.
②在较长边AB上截取AE＝AC,连结DE,如图乙.
③过C作CE∥AB,交AD的延长线于E,如图丙.
④过D作DE∥AB,交AC于E,如图丁.
（3）在△ABC中,若D是AB的中点,常采用的作法是：
①过D作DE∥BC,交AC于E.
②取AC的中点E,连结DE.
③连结CD,用中线的性质.
④若已知△ABC为特殊三角形,可利用特殊三角形的性质：如为等腰三角形,考虑顶点平分线；若为直角三角形,考虑斜边中线；若为有一个角是30°的直角三角形,考虑斜边中线及30°角所对边之间的关系,常可作出中线.

七、数学思想方法
1. 通过学习,逐步学会运用分析、综合、归纳、概括及类比的方法,逐步发展有条理的思考和表达能力.
2. 转化的思想：将复杂问题转化,分解,将实际问题转化成几何问题解决.
3. 图形处理方法：
（1）分解图形法：
复杂图形都是由较简单的基本图形组成,故可将复杂图形分解成基本图形.
（2）构造图形的方法：
当直接说明问题有困难时,常添加辅助线,构造图形达到解题目的.

八、掌握以下8类问题及其解法,并领会其中的数学思想：
1. 能够利用三角形全等的判定及其性质,证明线段或角相等,领会全等形的思想.
2. 能够利用等腰三角形和直角三角形的特殊性质解题,领会一般与特殊的关系.
3. 能够理解旋转,角平分线的概念及其性质,领会对称思想.
4. 能够理解逆命题与逆定理的概念,领会对立统一的思想.
5. 通过几何问题一题多解的研究和推理论证分析综合的训练,渗透转化思想和辨证唯物主义观点.
6. 通过对实际问题的研究体现理论联系实际的思想.
7. 通过用代数方法解决几何问题又体现了数形结合的思想和方程的思想.
8. 能够运用尺规作图,将作图问题转化为基本作图,领会化归思想.

【典型例题】
（一）构造全等三角形法：
例1. 已知：如图,AB∥CD,AD∥BC,证明：AB＝DC,AD＝BC
分析：需得到AB＝DC,AD＝BC,需构造三角形,因此可添加辅助线：连结AC.
证明：连结AC
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2
又∵AD∥BC
∴∠3＝∠4
在△ADC和△CBA中

∴△ADC≌△CBA（ASA）
∴AB＝DC,AD＝BC（全等三角形的对应边相等）

例2. 如图,△ABC中,∠A＝90°,AB＝AC,BD平分∠ABC交AC于D,CE⊥BD的延长线于E,求证：BD＝2CE.
分析：
和CE⊥BD”,想到延长CE、BA相交于F,因此先证明CF＝2CE,再证明BD＝CF.由此知需要证明△ABD≌△ACF.
证明：延长CE、BA相交于F
在△FBE和△CBE中

∴△BEF≌△BEC

∴CF＝2CE
在Rt△BEF中,∠2＝90°－∠F
同理∠1＝90°－∠F
∴∠1＝∠2
在△ABD和△ACF中

∴△ABD≌△ACF
∴BD＝CF
∴BD＝2CE
小结：①在题目中如果含有角平分线且含有和这条角平分线垂直的条件时,要想到翻折图形,此题所作的辅助线,实质上是将Rt△BCE以BE所在的直线为轴翻折过去得Rt△BFE.
②此题图中,可以把BE、CA看成是△FBC的两条高,注意“∠1＝∠2”这个结论.

（二）巧用勾股定理
例3. 已知：如图,△ABC中,AB＝AC,D为BC上任一点,求证：AB2－AD2＝BD·DC（AB＞AD）
分析：此题的求证中出现了AB2和AD2,由此可联想到把它们放到两个直角三角形中,利用勾股定理可得有AB2和AD2的式子,因此想到作辅助线AE⊥BC于E.
证明：过A作AE⊥BC于E
∵AB＝AC,AE⊥BC
∴BE＝CE,∠AEB＝∠AEC＝90°
在Rt△AEB和Rt△AED中,由勾股定理得：




例4. 如图,已知四边形ABCD为正方形,点E为AB的中点,点F在AD边上,且AF
求证：EF⊥CE
分析：此题中的已知条件告诉了我们边之间的关系,若设AF＝a,则可得正方形边长为4a,AE＝BE＝2a,DF＝3a,由直角三角形和这些边的关系,我们很容易想到勾股定理和其逆定理来证明两条直线互相垂直.
证明：连结FC,设AF＝a,则正方形边长为4a,
AE＝BE＝2a,DF＝3a
由勾股定理得：
在Rt△AEF中,

在Rt△BCE中,


在Rt△CDF中,




由勾股定理的逆定理知△EFC为直角三角形
且CF为斜边
∴EF⊥EC

（三）截长补短法：
例5. 如图甲,△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2,求证：AB＝AC＋CD
分析：此题是证两条线段的和等于第三边,这类型的题我们通常采用截长补短法,①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条,然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段.②补短法即为在较短的一条线段上延长一段,使它们等于最长的线段,然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段.
证明一：截长法：
如图乙,在AB上截取AE＝AC,连结DE
在△ADE和△ADC中

∴△ADE≌△ADC（SAS）
∴DE＝DC,∠AED＝∠C
∵∠C＝∠AED＝∠B＋∠BDE＝2∠B
∴∠EBD＝∠EDB
∴BE＝DE
∴BE＝DC
∴AB＝AE＋EB＝AC＋DC
即AB＝AC＋DC
证明二：补短法
如图丙,延长AC至E,使AE＝AB,连结DE
在△ABD和△AED中

∴△ABD≌△AED
∴∠B＝∠E
∵∠ACB＝2∠B＝∠E＋∠EDC
＝∠B＋∠EDC
∴∠E＝∠EDC
∴CD＝CE
∴AB＝AE＝AC＋CE＝AC＋CD
即AB＝AC＋CD

【模拟试题】（答题时间：50分钟）
（一）填空题：
1. 已知一个等腰三角形的一个外角是120°,腰长是a,则它腰上的高是___________.
2. 一直角三角形的两边长是12,5,则第三边长是___________.
3. AB是Rt△ABC的斜边,中线AD＝7,中线BE＝4,则AB＝___________.
4. 已知△ABC≌△DEF,且△DEF的周长为13,若AB＝4,BC＝6,则DF的长是___________.
5. 如图1,已知△ABC是直角三角形,∠C＝90°,∠A＝60°,AB＝200px,CD是AB边上的高,则AD＝___________,BD＝___________.
图1
6. 如图2,已知AB＝AC＝250px,AB∥CD,CD⊥AD,若∠B＝75°,则∠DAC＝___________,AD＝___________cm.
图2
7. 等边三角形绕它的三条高线的交点旋转120°,240°,…,都能与自己重合,它的旋转中心是___________,对应线段是___________.
8. 若图形甲按顺时针方向旋转30°得到图形乙,那么图形乙按顺时针方向旋转___________就得到图形甲.
9. 正五角星绕着它的中心至少旋转___________可以与原图重合.
10. 已知线段a,求作等边三角形,使其边长为a,其作法是
（1）作线段AB＝___________.
（2）分别以A、B为圆心,以___________为半径作弧,两弧交于点C.
（3）连结___________和___________.
则△ABC为所求的等边三角形.

（二）选择题：
1. 下列作图语言,叙述正确的是（ ）
A. 以A、B为端点,作直线AB
B. 以B为端点,作射线AB
C. 作线段AB,使AB＝a
D. 连结AB,使AB⊥a
2. 已知直角三角形的一直角边为2,一锐角为60°,则这个直角三角形的周长为（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图3,AB⊥CD,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形,若CD＝8,BE＝3,则AC为（ ）
图3
A. 8 B. 5 C. 3 D.
4. 下列现象属于旋转的是（ ）
A. 摩托车在急刹车时向前滑动
B. 空中飞舞的雪花
C. 拧开自来水龙头的过程
D. 飞机起飞冲向空中的过程
5. 某三角形三边长分别是整数,周长是11,一边长是4,则这个三角形可能的最大边长是（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
6. 有六根细木棒,它们的长度分别是2,4,6,8,10,12（单位：cm）,从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形,则这三根细木棒的比度分别为（ ）
A. 2,4,8 B. 4,8,10
C. 6,8,10 D. 8,10,12
7. 下列条件中,能判定△ABC≌△A'B'C'的是（ ）
①∠A＝∠A',∠B＝∠B',∠C＝∠C'
②AB＝A'B',∠A＝∠A',∠C＝∠C'
③AB＝A'B',AC＝A'C',BC＝B'C'
④BC＝B'C',AC＝A'C',∠C＝∠A'
A. 只有③ B. 只有②③
C. 只有②③④ D. 只有①③
8. 如图5,将△BAC绕点A旋转60°至△DAE位置,若∠BAC＝120°,则△ABD是_______________三角形.
图5
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
9. 如图6,AD⊥AB,AE⊥AC,AD＝AB,AE＝AC,则下列各式中正确的是（ ）
图6
A. △ABD≌△ACE B. △ADF≌△AEG
C. △BMF≌△CMG D. △ADC≌△ABE

（三）已知：在△ABC中,AD是BC边上的高,AB＝AC,∠BAC＝120°,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
求证：.
（四）如图7,在△ABC中,∠BAC＝90°,D是△ABC内一点,将△ADB绕A点旋转至△AD'C,△AD'C与△ADB能完全重合,求∠DAD'的度数.
图7
（五）已知：如图8△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形,点M、N分别在AB、AC上,且∠MDN＝60°
求证：△AMN的周长l＝2
图8




【试题答案】
（一）
1. 2.
3. 4. 3
5. 2,6 6. 60°,5
7. 三条高线交点,三边
8. 330°
9. 72°
10. a,a,AC,BC

（二）
1. C 2. D 3. D 4. C
5. C
解析：设最大边长为x,则另一边长为7－x,根据三角形三边关系得：4＋7－x＞x,解得,因为x是整数,所以x＝5.
6. C 7. B 8. A 9. D

（三）∵AB＝AC,∠BAC＝120°,
∴∠B＝∠C＝30°
∵DE⊥AB,∴DE
∵DF⊥AC,∴
∴DE＋DF

（四）∵△AD'C与△ADB完全重合
∴△AD'C≌△ADB
∴∠BAD＝∠CAD'
∵∠BAC＝90°
∴∠BAD＋∠DAC＝90°
∴∠CAD'＋∠DAC＝90°
即∠DAD'＝90°

（五）
证明：∵∠ABC＝∠ACB＝60°
∠DBC＝∠DCB＝30°
∴∠DBA＝∠ACD＝90°
∵DC＝DB
∴可将△DBM绕点D顺时针旋转120°得△DCE
即△DCE≌△DBM
∴MD＝ED,∠MDB＝∠EDC,∠MDE＝120°
又∠MDN＝60°
∴∠NDE＝60°
∴△DEN是将△DMN沿DN翻折过来的
∴△MDN≌△EDN
∴MN＝EN
即l＝MA＋MN＋AN
＝AM＋AN＋NE
＝（AB－BM）＋（AC＋CE）
＝AB＋AC
＝2

角边角，边边边，角角边