（2014•大连二模）已知椭圆C1：y 2a x+x 2b 2=1（a＞b＞0）

（2014•大连二模）已知椭圆C₁：

y 2

a x

x 2

b 2

=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为

，其一个焦点在抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的准线上，过点M（0，1）的直线交C₁于C、D两点，交C₂于A、B两点，分别过点A、B作C₂的切线，两切线交于点Q．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）求△QCD面积的最小值．

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yyw78351 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）由已知条件得

2b＝4

e＝

＝

a2＝b2+c2

，由此能求出C₁的方程．由C₁的焦点为（0，2），（0，-2），其一个焦点在抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的准线上，得p=4，由此能求出C₂的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），Q（x₀，y₀）．由C₂：y=

，利用导数的几何意义知过A点C₂的切线方程为y=

xx1

−y1．过B点C₂的切线方程为y=

xx2

−y2．由此求出直线AB的方程为y=[1/4x0x+1，
联立方程组

＝1

y＝

x0x+1

]，得(x02+32)x2+8x0x−7×16＝0，由此利用椭圆弦长公式和点到直线距离公式能求出△QCD面积的最小值．

（Ⅰ）∵椭圆C₁：
y2
a2+
x2
b2=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为

2
2，
∴

2b＝4
e＝
c
a＝

2
2
a2＝b2+c2，解得a²=8，b=2，c=2，
∴C₁的方程为：
y2
8+
x2
4＝1．（2分）
∵C₁的焦点为（0，2），（0，-2），其一个焦点在抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的准线上，
∴p=4，∴C₂的方程：x²=8y．（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），Q（x₀，y₀）．
由（Ⅰ）知C₂：y=
x2
8，∴y′＝
x
4，
∴过A点C₂的切线方程为y-y₁=
x1
4(x−x1)，即y=

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．

1年前

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