如图，已知曲线C1：x2+y2=1（|x|＜1），C2：x2=8y+1（|x|≥1），动直线l与C1相切，与C2相交于A
如图，已知曲线C1：x2+y2=1（|x|＜1），C2：x2=8y+1（|x|≥1），动直线l与C1相切，与C2相交于A，B两点，曲线C2在A，B处的切线相交于点M．（1）当MA⊥MB时，求直线l的方程；
（2）试问在y轴上是否存在两个定点T1，T2，当直线MT1，MT2斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在，求出满足的T1，T2点坐标；若不存在，请说明理由．
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解题思路：（1）设半圆C1上的切点P（x0，y0），直线lAB：x0x+y0y=1，代入C2：x2=8y+1，消去y，利用韦达定理，结合MA⊥MB，求出切点坐标，即可得到直线l的方程；（2）求出曲线C2在A，B处的切线，可得两直线的交点坐标，进而利用两直线的斜率之积恒为定值，可得方程组，即可求出满足的T1，T2点坐标．
（1）设半圆C1上的切点P（x0，y0），直线lAB：x0x+y0y=1，A（x1，y1），B（x2，y2），则
代入C2：x2=8y+1，消去y可得y0x2+8x0x-y0-8=0得：x1x2=
−y0−8
y0．
MA⊥MB时，yAyB=[1/16]x1x2=[1/16]•
−y0−8
y0=-1，得y0=[8/15]，
又x02+y02=1，求得：x0=±
161
15，
∴所求的直线方程为：±
161x+8y-15=0．
（2）曲线C2在A，B处的切线分别为：y=[1/4]x1x-[1/8]x12-[1/8]，y=[1/4]x2x-[1/8]x22-[1/8]，
两直线的交点M（
x1+x2
2，[1/8]（x1x2-1）），即M（-
4x0
y0，-[1/4]-[1
y0），
设M（x，y），则由
x＝−
4x0
y0
y＝−
1/4−
1
y0]求得：
x0＝
x
4y+1
y0＝
−4
4y+1，代入x02+y02=1，化得x2=16y2+8y-15，
设T1（0，t1），T2（0，t2），则
kMP•kMQ=
(y−t1)(y−t2)
x2=[1/16]•
y2−(t1+t2)y+t1t2
y2+
1
2y−
15
16为定值，
必须t1+t2=-[1/2]，t1t2=-[15/16]，解得：
t1＝
3
4
t2＝−
5
4或
t1＝−
5
4
t2＝
3
4，不妨取T1（0，-[5/4]），T2（0，[3/4]）．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．
考点点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线方程，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
1年前
9
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