（2014•闸北区二模）已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（-x）=1f(x)．设

（1）∵f（-x）=
1
f(x)，
∴F（x）=
1−f(x)
1+f(x)=-1+
2
1+f(x)，
∵f（x）＞0，∴0＜
1
1+f(x)＜1
∴-1＜F（x）＜1，
故y=F（x）的值域为（-1，1）；----------------------------------------（4分）
∵f（-x）=
1
f(x)，
∴令x=0，f（0）=±1，
∵f（x）＞0，∴f（0）=1．
故y=F（x）的零点为x=0------------------------------------------------（4分）
（2）对任意的x∈R，F（-x）=
1−f(−x)
1+f(−x)=-
1−f(x)
1+f(x)=-F（x），--------（3分）
∴y=F（x）是奇函数．-------------------------------------------（2分）
由已知，y=f（x）在定义域R上是增函数，
∴对任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，都有f（x₁）-f（x₂）＜0．
又F（x₁）-F（x₂）=
2
1+f(x1)-
2
1+f(x2)=
f(x2)−f(x1)
[1+f(x1)][1+f(x2)]＞0．------------（3分）
∴y=F（x）在定义域R上是减函数．-----------------------------------------------------（2分）

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．