（2010•河北区一模）已知函数f（x）=[1/2]x2-alnx（a∈R）．

（2010•河北区一模）已知函数f（x）=[1/2]x2-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）-[2/3]x3+（a+1）lnx＜0．
rose04511 1年前 已收到1个回答 举报
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zhuzhu118 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）f′（x）=x-
a
x]，分情况讨论：a≤0时易求单调区间；a＞0时在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）f（x）-[2/3]x3+（a+1）lnx=-[2/3]x3+[1/2
x2+lnx，设g（x）=
2
3]x3-
1
2
x2-lnx，只证g（x）＞0即可，利用导数可判断函数g（x）的单调性，由单调性可得g（x）＞g（1）=0，得到结论；

（Ⅰ）依题意知函数的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-[a/x]，
①当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
②当a＞0时，f′（x）=x-[a/x]=
(x+
a)(x−
a)
x，
令f′（x）＞0，得x＞
a，故函数f（x）的单调递增区间为（
a，+∞）；
令f′（x）＜0，得0＜x＜
a，故函数f（x）的单调递减区间为（0，
a）．
（Ⅱ）f（x）-[2/3]x3+（a+1）lnx=-[2/3]x3+[1/2x2+lnx，
设g（x）=
2
3]x3-[1/2x2-lnx，则g′（x）=2x2-x-

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题，考查转化思想，恰当构造函数是解题关键．

1年前

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