设A是n阶不可逆矩阵 证明 存在n阶非零矩阵B C 使得AB=CA=0

(1) A不可逆,故其秩小于n,故可经过有限次行初等变换P1,P2,.Pk 变为第一行元素全为0的矩阵D
D=(Pk).(P2)(P1)A = QA,设:Q=(Pk).(P2)(P1)
取 F为这样的矩阵:其第一行,第一列的元素为:1,其余元素均为:0.则有FD=0.
即FQA=0 .此时,可取:C=FQ,由于:Q可逆,故其第一行元素不全为0,故C=FQ非0.
而有CA=0.
(2)同理:
A不可逆,故其秩小于n,故可经过有限次列初等变换M1,M2,.Mh 变为第一列元素全为0的矩阵G
G=AM1,M2,.Mh =AS,设:S=M1,M2,.Mh
仍取 F为这样的矩阵:其第一行,第一列的元素为:1,其余元素均为:0.则有GF=0.
即ASF=0 .此时,可取:B=SF,由于:S可逆,故其第一列元素不全为0,故B=SF非0.而有AB=0.
证明完毕.