求证不存在恰有2个指数为2的子群的群

心心相印 1年前 已收到1个回答 举报
赞

回首青 春芽

共回答了23个问题采纳率：87% 举报

若H、K是G的两个不同的指数为2的子群,则H、K、（H交K）都是G的正规子群,并且
（G/（H交K））/（H/（H交K））=G/H
从而G/（H交K）是四阶克莱因群,它有一个不同于H/（H交K）、K/（H交K）的指数为2的子群L.L在自然同态
G --> G/（H交K）
下的原像即为G的一个与H、K均不同的指数为2的子群.

1年前 追问

8

心心相印 举报

可不可以不用到克莱因群的相关知识直接给出构造？

举报 回首青

那就这么写： G/（H交K）和H/（H交K）都同构于Z/2Z，所以G/（H交K）是一个四阶群。我们知道四阶群只有两种：Z/4Z和（Z/2Z）x（Z/2Z）。明显地，前者只有一个指数为2的子群，不符合题意，舍去。因此，G/（H交K）同构于后者。它有三个指数为2的子群： {(0,0),(1,0)}、{(0,0),(0,1)}、{(0,0),(1,1)} 因为H、K在G/（H交K）中的像只占去两个指数为2的子群，所以必然还剩一个，就取它为L
可能相似的问题

你能帮帮他们吗

精彩回答

Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.026 s. - webmaster@yulucn.com