在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆的离心率为根号2/2,左焦点为F,过原点的直线l交椭圆于M、N两点
在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆的离心率为根号2/2,左焦点为F,过原点的直线l交椭圆于M、N两点
三角形MNF面积的最大值为1,设P、A、B是椭圆上异于顶点的三点,Q(m,n）是单位圆x2+y2=1上任意一点,使向量OP=m向量OA+n向量OB,求证：直线OA与向量OB的斜率之积为定值
三角形MNF面积的最大值为1,设P、A、B是椭圆上异于顶点的三点,Q(m,n）是单位圆x2+y2=1上任意一点,使向量OP=m向量OA+n向量OB,求证：直线OA与向量OB的斜率之积为定值
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设P（x,y）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,把点A,B代入椭圆方程可得 x212+y21＝1③,x222+y22＝1④,又Q（m,n）是单位圆x2+y2=1上任一点可得m2+n2=1⑤,
由 OP＝m OA+n OB,得到 x＝mx1+nx2y＝my1+ny2.因P在椭圆上,故 (mx1+nx2)22+(my1+ny2)2＝1． 把③④⑤代入上式即可得出x1,y1,x2,y2,满足的式子即可证明结论；
②利用①的结论kOAkOB＝y1y2x1x2＝−12为定值．可得故 y21+y22＝1． 及又(x212+y21)+(x222+y22)＝2,可得 x21+x22＝2．故可证明OA2+OB2= x21+y21+x22+y22为定值．
由 OP＝m OA+n OB,得到 x＝mx1+nx2y＝my1+ny2.因P在椭圆上,故 (mx1+nx2)22+(my1+ny2)2＝1． 把③④⑤代入上式即可得出x1,y1,x2,y2,满足的式子即可证明结论；
②利用①的结论kOAkOB＝y1y2x1x2＝−12为定值．可得故 y21+y22＝1． 及又(x212+y21)+(x222+y22)＝2,可得 x21+x22＝2．故可证明OA2+OB2= x21+y21+x22+y22为定值．
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